Temas importantes para un estudiante de 3er año en su 2do Lapso

Función Afín

¿Qué es?

La función afín o función lineal es toda función real de la forma f(x) = mx + b, cuya variable es de primer grado, y "m" y "b" son constantes reales. Se caracteriza porque su gráfico siempre es una línea recta.

Un ejemplo podría ser que la función y = 5 es afín, con m = 0 y b = 5. Mientras que la función y= 1/x no es afín porque y = 1/x es equivalente a y = x^-1  y la variable tiene exponente negativo

¿Cómo se representa gráficamente?

La representación de una función afín en el plano cartesiano es una recta que no es vertical y para representarla es suficiente con determinar dos de sus puntos en el plano y trazar la recta que pasa por ellos. Toda función afín está representada gráficamente por una recta que no es vertical. Esto implica que las rectas de la forma x = a , con a constante, no representan una función afín pues en este caso m no tiene valor, a diferencia de una función afín de la forma y = a donde el valor de m es 0.

Ejemplo:

f(x) = 3x + 2

La función es afín con m = -3 y b = 2.
Se tiene que f(0) = -3 . 0 + 2 = 0 + 2 = 2, y arbitrariamente x = 0 primero, y luego x = 1. Esto indica que la recta pasa por los puntos P (0,2) y Q (1, -1). Su gráfico está en la figura.

Puntos de corte con los ejes

En las funciones afines es útil determinar primero el valor de y haciendo x = 0; ya que así se obtiene el punto donde el gráfico de la función corta el eje vertical. Para determinar dónde corta el gráfico de la función al eje horizontal se analiza lo siguiente: un punto está en el eje horizontal si la distancia del punto al eje es 0. Basta hacer y = 0 en la función y así despejar x para obtener la abscisa del punto desconocido.

Es decir, si f (x)= mx + b se iguala a cero, entonces mx + b = 0 y x = - b/m. Por lo tanto el gráfico de la función corta el eje horizontal en el punto (x,0), es decir en (-b/m,0).

Ejemplo: determinar los puntos de corte del gráfico de la función afín con los ejes de coordenadas y representarla gráficamente.

y = 3x - 2

Para hallar el punto de corte de la recta con el eje vertical se hace x = 0 y se despeja la x, así:
y = 3 . 0 - 2 = -2.

Luego el punto de corte es el punto (0,-2).

Para hallar el punto de corte de la recta con el eje horizontal, se hace y = 0 de la siguiente manera:
0 = 3x -2
2 = 3x
2/3 = x.

Luego el punto de corte es (2/3, 0)
Al representar estos puntos de corte se obtiene el gráfico de la función de la derecha.

Pendiente y ordenada en el origen

Pendiente (m) de una recta

En matemática se puede asociar la pendiente de una recta, más o menos inclinada, con la inclinación de dicha recta respecto al eje horizontal. En una función lineal definida como y = mx + b, el número constante m  se denomina pendiente de la función lineal o pendiente de la recta que representa. Dependiendo del valor de m, la función puede ser:

• Creciente: a medida que aumenta el valor de la abscisa aumenta el valor de la ordenada. Ejm: f(x)= 2x - 3 (con m = 2). Como f (0)=2 . 0 - 3 = -3, entonces el punto (0,-3) es el corte de la recta con el eje vertical. Si se toma la abscisa mayor que 0, por ejemplo 1, se tiene que f(1)= 2 . 1 - 3 = -2 y se nota que en el punto (1,-2) la ordenada es mayor que la ordenada en 0. Es decir, si se van dando valores mayores en la abscisa se van obteniendo valores mayores de la ordenada.
• Función decreciente:  A medida que aumente el valor de la abscisa, disminuye el valor de la ordenada como en el caso de  f(x)=-x+2 (con m = -1). Como f(0) = -0 + 2 = 2, entonces el punto (0,2) es el corte de la recta con el eje vertical. Si se toma la abscisa mayor que 0, por ejemplo 1, se tiene que f(1) = - 1 + 2 = 1 y en el punto (1, 1) la ordenada es menor que la ordenada en 0. Es decir, si se van dando valores mayores de la abscisa, se van obteniendo valores mayores de la ordenada.
• Función constante: es una recta horizontal como en el caso de f (x) = 5 (con m = 0) que corta al eje vertical en el punto (0,5) y permanece constante.
  
  

Ordenada (b) en el origen

En una función afín el número constante b se denomina ordenada en el origen de la función; pues si se hace x = 0 se obtiene y = m . 0 + b = b; luego (0, b) es el punto de corte del eje Y con el gráfico de la función afín, es decir, b es la ordenada del punto de corte del eje vertical con la recta dada por la función afín.

Ejemplo:

Hallar el punto de corte de la función afín y = -2x + 1, con el eje Y. Como b = 1 entonces el punto de corte con el eje Y es (0, 1).







Posición de rectas en el plano según sus pendientes.

Dos rectas dadas por su función afín son paralelas siempre y cuando tengan la misma pendiente y son perpendiculares si y sólo si el producto de ambas pendientes es igual a -1.

Ejemplos:

Hallar la función cuya gráfica para por P (2, 1) y es perpendicular a y = -3 + 2. La función buscada es de la forma y = mx + b. Como el producto de las pendientes debe ser -1, se debe cumplir que :         (-3) . m = -1
m = -1/-3= 1/3. 
Luego, la función es de la forma y = 1/3x + b. Ya que P está en esta recta, se cumple :
1 = 1/3 . 2 + b
1 = 2/3 + b
b = 1/3.
En consecuencia, la función buscada es: y = 1/3x + 1/3.

Ecuación de la pendiente.

La pendiente de una recta que pasa por dos puntos distintos P(x₁, y₁) y Q (x₂, y₂ ) no situados en la misma vertical es mPQ = y2 - y1

                                       x2 - x1
Ejemplo:

Hallar el valor de la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(4, 6) y B (-3, )
 m = 1 - 6 = -5  = 5
       -3 - 4    -7     7
El valor de la pendiente de la recta que pasa por A y B es m = 5
                                                                                            7

Ecuación general de la recta

Ecuación general de la recta

Es aquella ecuación que permite representar una recta cualquiera en el plano cartesiano, ya que la ecuación f(x) = mx + b no representa las rectas verticales. La ecuación  Ax + By + C = 0 donde A y B no son simultáneamente nulos se le denomina ecuación general de la recta. Prácticamente la ecuación general de la recta es una expresión donde se despeja el número 0 y se intenta que todos sus coeficientes sean números enteros.

Ejemplos:

Determinar la ecuación general de la recta y = (- 3 )x + 2.
                                                                     5
Al igualar a 0 se tiene que y + 3  x - 2 = 0
                                            5
                                          5y + 3x - 10 = 0.
                                          3x + 5y - 10 = 0 Esta es la ecuación general de la recta.


Construcción de la ecuación de la recta

La ecuación de la recta, bien sea en su forma principal o en su forma general, se puede construir:

• Dada la pendiente de la recta y la ordenada en el origen
• Dados dos puntos de la recta
• Dados un punto y la pendiente de la recta
• Dados un punto y una recta paralela al o perpendicular.

Ejemplos:

Determinar la ecuación de la recta que para por P (-2, 3) y Q (1, 3). Debido a que las ordenadas de ambos puntos son iguales, se tiene que la recta es horizontal y su ecuación es y = 3. Su ecuación general es y - 3 = 0.

Fórmula para hallar la ecuación de la recta dados dos puntos.

Considera los puntos A(x_1, y₁)  y B (x₁, y₁);  La siguiente expresión representa a la recta que pasa por los puntos A y B: y - y₁ = y2 - y1 . (x - x₁). 

                                                                                     x2 - x1

Ejemplo:

 Hallar la ecuación general de la recta que pasa por los puntos P(-2, 3) y Q(3,5).
En este caso se puede hacer x1= -2; x2 = 3; y1 = 3 y y2 = 5.
Estos valores se sustituyen en la fórmula así:

y - y1 = y2 - y1  . ( x - x1) => y - 3 = 5 - 3     .  ( x - ( - 2) ) => y - 3 = 5 - 3 . (x +2)

                x2 - x1                                                 3 - (-2)                                                         3 + 2                               

 => y - 3 = 2 . ( x + 2)=> y - 3 = 2 x + 4 =>  y - 2 x - 4 - 3 = 0 => 5y - 2x - 19 = 0

                         5                                          5          5                  5         5

        

Fórmula que permite hallar la ecuación de una recta conocida su pendiente m y un punto de ella.

Sea A(x_1, y₁). La ecuación de la recta cuya pendiente es m que pasa A está dada por la siguiente expresión: y - y_{1 =} m . 4 y A(3,4). Al aplicar la fórmula en este ejemplo, con m = 4 y A(3,4). Se tiene que: y - 4 = 4 . (x - 3) 

        y - 4 = 4x - 12

        y - 4x - 8 =  0

Inicio de geometría en 2do año

1.Simetría axial

Simetría axial es una transformación del plano o del espacio en la cual, a cada punto P, se asocia a otro punto P' llamado imagen de P de manera que P y P' están a igual distancia de una recta llamada eje de simetría, y el segmento PP' es perpendicular a dicho eje. 

Ejemplo:

En la imagen se observa el triángulo A'B' C' que es la imagen simétrica del triángulo ABC respecto al eje de simetría e. 

La imagen nos muestra que:

• El eje de simetría es mediatriz de cualquier segmento que surja de unir un vértice con su imagen.
• Dos segmentos que sean una imagen simétrica del otro tienen igual medida, por ejemplo AB= A' B'
• Los ángulos que sean uno imagen simétrica del otro como ángulo B y el B' tienen igual medida.

La imagen simétrica de un segmento, cuando se da un eje de simetría, se determina hallando la imagen de cada extremo del segmento, luego se traza el segmento que une ambas imágenes

Imagen simétrica de un polígono y de una circunferencia respecto a un eje de simetría se parece mucho a la imagen de un objeto reflejado en un espejo. Para determinarla se halla la imagen simétrica de cada uno de los  vértices del polígono, de la misma forma como se determinó la imagen simétrica de un segmento. Luego se unen.

En el ejemplo se indican los pasos a seguir para determinar la imagen simètrica del trapecio ABCD respecto a l

Para trazar la imagen simétrica de una circunferencia se halla la imagen simétrica de su centro respecto al eje y se dibuja la nueva circunferencia con el mismo radio. En la foto se muestra la imagen simétrica de la circunferencia de centro O y radio k, con respecto a m.

2. Proyecciones ortogonales

Se llama proyección ortogonal de P sobre m al punto de intersección P' entre la recta perpendicular a m al punto de intersección P' entre la recta m y la recta perpendicular a m que pasa por P. Esa recta perpendicular se llama la proyectante de P sobre m.

Proyecciones ortogonales de una linea sobre una recta

Para determinar la proyección ortogonal de una línea cualquiera sobre una recta, se deben buscar las proyecciones ortogonales de su origen y su extremo; el segmento determinado por dichas proyecciones será la proyección de la línea original. La proyección de una línea ortogonal sobre una recta m es la unión de todas las proyecciones ortogonales de cada uno de los puntos de l sobre la recta

Casos particulares de la proyección ortogonal 

• Proyección de un punto sobre una recta. Sea P un punto y m una recta se tiene que:(procediento)
  
  
  

• Proyección de un segmento sobre recta. Proyectar un segmento sobre una recta dependerá de la posición del segmento con respecto a la recta.

• Proyección de una figura sobre una recta.
  La proyección de figuras planas, es decir, que tienen dos dimensiones: largo y ancho, origina proyecciones en una sola dimensión. Las proyecciones ortogonales de cuerpos, es decir, que tienen tres dimensiones(largo, ancho y alto) son figuras planas; tal como pasa con la sombra de un cuerpo cuando es iluminado por el Sol.
  La figura a la derecha muestra la proyecció  del triángulo ABC sobre la recta m. 

    3. ROTACIONES 

                                             
  LOS MOVIMIENTOS ROTATORIOS 

La luna con respecto a la tierra genera un movimiento de rotación ya que gira alrededor de ella, pero también la tierra en si misma realiza el mismo movimiento. Esto es es debido algunos elementos de la naturaleza o algunos objetos, que describen movimientos de rotación, bien sean en si mismos o con respecto a otro. 

• ROTACIÓN DE UN POLÍGONO 

La imagen de un polígono bajo cualquier rotación, se determina hallando la imagen de cada uno de sus vértice bajo la rotación. Y luego uniendo los vértices hallados.

• ROTACIÓN EN EL PLANO 

Para hallar la imagen la imagen de cualquier punto P del plano bajo un ángulo de rotación es preciso conocer el ángulo dirigido y el centro de rotación.

• ROTACIÓN DE UN POLÍGONO EN EL PLANO CARTESIANO

para obtener la imagen de un polígono en el plano cartesiano bajo una rotación, se determina la imagen de cada vértice y se hallan las coordenadas de los vértices de la imagen del polígono original.

• ROTACIÓN DE SEGMENTOS 

Se puede determinar la imagen de un segmento, bajo cualquier rotación, hallando los puntos que son imágenes de los extremos que forman el segmentó, y luego trazando el segmento que une ambos puntos.

• ROTACIÓN EN EL PLANO

Para hallar la imagen de cualquier punto P del plano bajo un ángulo de rotación es preciso conocer el ángulo dirigido y el centro de rotación. 

                                                           SIMETRÍA CENTRAL 

La simetría central de un punto o figura es una rotación cuya amplitud es 180º ,por ejemplo a la derecha, se determino la simetría central de centro O del punto A  y la simetría central de central M DEL PUNTO B.

4. TRASLACIÓN

• CALCULO DE LAS COORDENADAS DE LA IMAGEN DE UN PUNTO SEGÚN UNA TRASLACIÓN.

Para obtener las coordenadas de un punto, que es imagen de otro dado mediante un vector de traslación, se usa la propiedad que indica quelas componentes de dos vectores equipolentes son iguales.

• TRASLACIONES EN EL PLANO CARTESIANO 

Para conseguir la imagen de un punto M dado un vector de traslación u, se traza un vector equipolente al vector u partiendo de M. El punto extremo del vector trazado es la imagen de M según Tu, es decir, es M’. 

• TRASLACIÓN 

Se puede hallar la imagen de un punto cualquiera a través de una traslación según un vector dado. Para ello se traza un vector equipolente al lado, cuyo origen sea el punto.