Inicio de geometría en 2do año

1.Simetría axial

Simetría axial es una transformación del plano o del espacio en la cual, a cada punto P, se asocia a otro punto P' llamado imagen de P de manera que P y P' están a igual distancia de una recta llamada eje de simetría, y el segmento PP' es perpendicular a dicho eje. 

Ejemplo:

En la imagen se observa el triángulo A'B' C' que es la imagen simétrica del triángulo ABC respecto al eje de simetría e. 

La imagen nos muestra que:

• El eje de simetría es mediatriz de cualquier segmento que surja de unir un vértice con su imagen.
• Dos segmentos que sean una imagen simétrica del otro tienen igual medida, por ejemplo AB= A' B'
• Los ángulos que sean uno imagen simétrica del otro como ángulo B y el B' tienen igual medida.

La imagen simétrica de un segmento, cuando se da un eje de simetría, se determina hallando la imagen de cada extremo del segmento, luego se traza el segmento que une ambas imágenes

Imagen simétrica de un polígono y de una circunferencia respecto a un eje de simetría se parece mucho a la imagen de un objeto reflejado en un espejo. Para determinarla se halla la imagen simétrica de cada uno de los  vértices del polígono, de la misma forma como se determinó la imagen simétrica de un segmento. Luego se unen.

En el ejemplo se indican los pasos a seguir para determinar la imagen simètrica del trapecio ABCD respecto a l

Para trazar la imagen simétrica de una circunferencia se halla la imagen simétrica de su centro respecto al eje y se dibuja la nueva circunferencia con el mismo radio. En la foto se muestra la imagen simétrica de la circunferencia de centro O y radio k, con respecto a m.

2. Proyecciones ortogonales

Se llama proyección ortogonal de P sobre m al punto de intersección P' entre la recta perpendicular a m al punto de intersección P' entre la recta m y la recta perpendicular a m que pasa por P. Esa recta perpendicular se llama la proyectante de P sobre m.

Proyecciones ortogonales de una linea sobre una recta

Para determinar la proyección ortogonal de una línea cualquiera sobre una recta, se deben buscar las proyecciones ortogonales de su origen y su extremo; el segmento determinado por dichas proyecciones será la proyección de la línea original. La proyección de una línea ortogonal sobre una recta m es la unión de todas las proyecciones ortogonales de cada uno de los puntos de l sobre la recta

Casos particulares de la proyección ortogonal 

• Proyección de un punto sobre una recta. Sea P un punto y m una recta se tiene que:(procediento)
  
  
  

• Proyección de un segmento sobre recta. Proyectar un segmento sobre una recta dependerá de la posición del segmento con respecto a la recta.

• Proyección de una figura sobre una recta.
  La proyección de figuras planas, es decir, que tienen dos dimensiones: largo y ancho, origina proyecciones en una sola dimensión. Las proyecciones ortogonales de cuerpos, es decir, que tienen tres dimensiones(largo, ancho y alto) son figuras planas; tal como pasa con la sombra de un cuerpo cuando es iluminado por el Sol.
  La figura a la derecha muestra la proyecció  del triángulo ABC sobre la recta m. 

    3. ROTACIONES 

                                             
  LOS MOVIMIENTOS ROTATORIOS 

La luna con respecto a la tierra genera un movimiento de rotación ya que gira alrededor de ella, pero también la tierra en si misma realiza el mismo movimiento. Esto es es debido algunos elementos de la naturaleza o algunos objetos, que describen movimientos de rotación, bien sean en si mismos o con respecto a otro. 

• ROTACIÓN DE UN POLÍGONO 

La imagen de un polígono bajo cualquier rotación, se determina hallando la imagen de cada uno de sus vértice bajo la rotación. Y luego uniendo los vértices hallados.

• ROTACIÓN EN EL PLANO 

Para hallar la imagen la imagen de cualquier punto P del plano bajo un ángulo de rotación es preciso conocer el ángulo dirigido y el centro de rotación.

• ROTACIÓN DE UN POLÍGONO EN EL PLANO CARTESIANO

para obtener la imagen de un polígono en el plano cartesiano bajo una rotación, se determina la imagen de cada vértice y se hallan las coordenadas de los vértices de la imagen del polígono original.

• ROTACIÓN DE SEGMENTOS 

Se puede determinar la imagen de un segmento, bajo cualquier rotación, hallando los puntos que son imágenes de los extremos que forman el segmentó, y luego trazando el segmento que une ambos puntos.

• ROTACIÓN EN EL PLANO

Para hallar la imagen de cualquier punto P del plano bajo un ángulo de rotación es preciso conocer el ángulo dirigido y el centro de rotación. 

                                                           SIMETRÍA CENTRAL 

La simetría central de un punto o figura es una rotación cuya amplitud es 180º ,por ejemplo a la derecha, se determino la simetría central de centro O del punto A  y la simetría central de central M DEL PUNTO B.

4. TRASLACIÓN

• CALCULO DE LAS COORDENADAS DE LA IMAGEN DE UN PUNTO SEGÚN UNA TRASLACIÓN.

Para obtener las coordenadas de un punto, que es imagen de otro dado mediante un vector de traslación, se usa la propiedad que indica quelas componentes de dos vectores equipolentes son iguales.

• TRASLACIONES EN EL PLANO CARTESIANO 

Para conseguir la imagen de un punto M dado un vector de traslación u, se traza un vector equipolente al vector u partiendo de M. El punto extremo del vector trazado es la imagen de M según Tu, es decir, es M’. 

• TRASLACIÓN 

Se puede hallar la imagen de un punto cualquiera a través de una traslación según un vector dado. Para ello se traza un vector equipolente al lado, cuyo origen sea el punto.