Temas importantes para un estudiante de 3er año en su 2do Lapso

Función Afín

¿Qué es?

La función afín o función lineal es toda función real de la forma f(x) = mx + b, cuya variable es de primer grado, y "m" y "b" son constantes reales. Se caracteriza porque su gráfico siempre es una línea recta.

Un ejemplo podría ser que la función y = 5 es afín, con m = 0 y b = 5. Mientras que la función y= 1/x no es afín porque y = 1/x es equivalente a y = x^-1  y la variable tiene exponente negativo

¿Cómo se representa gráficamente?

La representación de una función afín en el plano cartesiano es una recta que no es vertical y para representarla es suficiente con determinar dos de sus puntos en el plano y trazar la recta que pasa por ellos. Toda función afín está representada gráficamente por una recta que no es vertical. Esto implica que las rectas de la forma x = a , con a constante, no representan una función afín pues en este caso m no tiene valor, a diferencia de una función afín de la forma y = a donde el valor de m es 0.

Ejemplo:

f(x) = 3x + 2

La función es afín con m = -3 y b = 2.
Se tiene que f(0) = -3 . 0 + 2 = 0 + 2 = 2, y arbitrariamente x = 0 primero, y luego x = 1. Esto indica que la recta pasa por los puntos P (0,2) y Q (1, -1). Su gráfico está en la figura.

Puntos de corte con los ejes

En las funciones afines es útil determinar primero el valor de y haciendo x = 0; ya que así se obtiene el punto donde el gráfico de la función corta el eje vertical. Para determinar dónde corta el gráfico de la función al eje horizontal se analiza lo siguiente: un punto está en el eje horizontal si la distancia del punto al eje es 0. Basta hacer y = 0 en la función y así despejar x para obtener la abscisa del punto desconocido.

Es decir, si f (x)= mx + b se iguala a cero, entonces mx + b = 0 y x = - b/m. Por lo tanto el gráfico de la función corta el eje horizontal en el punto (x,0), es decir en (-b/m,0).

Ejemplo: determinar los puntos de corte del gráfico de la función afín con los ejes de coordenadas y representarla gráficamente.

y = 3x - 2

Para hallar el punto de corte de la recta con el eje vertical se hace x = 0 y se despeja la x, así:
y = 3 . 0 - 2 = -2.

Luego el punto de corte es el punto (0,-2).

Para hallar el punto de corte de la recta con el eje horizontal, se hace y = 0 de la siguiente manera:
0 = 3x -2
2 = 3x
2/3 = x.

Luego el punto de corte es (2/3, 0)
Al representar estos puntos de corte se obtiene el gráfico de la función de la derecha.

Pendiente y ordenada en el origen

Pendiente (m) de una recta

En matemática se puede asociar la pendiente de una recta, más o menos inclinada, con la inclinación de dicha recta respecto al eje horizontal. En una función lineal definida como y = mx + b, el número constante m  se denomina pendiente de la función lineal o pendiente de la recta que representa. Dependiendo del valor de m, la función puede ser:

• Creciente: a medida que aumenta el valor de la abscisa aumenta el valor de la ordenada. Ejm: f(x)= 2x - 3 (con m = 2). Como f (0)=2 . 0 - 3 = -3, entonces el punto (0,-3) es el corte de la recta con el eje vertical. Si se toma la abscisa mayor que 0, por ejemplo 1, se tiene que f(1)= 2 . 1 - 3 = -2 y se nota que en el punto (1,-2) la ordenada es mayor que la ordenada en 0. Es decir, si se van dando valores mayores en la abscisa se van obteniendo valores mayores de la ordenada.
• Función decreciente:  A medida que aumente el valor de la abscisa, disminuye el valor de la ordenada como en el caso de  f(x)=-x+2 (con m = -1). Como f(0) = -0 + 2 = 2, entonces el punto (0,2) es el corte de la recta con el eje vertical. Si se toma la abscisa mayor que 0, por ejemplo 1, se tiene que f(1) = - 1 + 2 = 1 y en el punto (1, 1) la ordenada es menor que la ordenada en 0. Es decir, si se van dando valores mayores de la abscisa, se van obteniendo valores mayores de la ordenada.
• Función constante: es una recta horizontal como en el caso de f (x) = 5 (con m = 0) que corta al eje vertical en el punto (0,5) y permanece constante.
  
  

Ordenada (b) en el origen

En una función afín el número constante b se denomina ordenada en el origen de la función; pues si se hace x = 0 se obtiene y = m . 0 + b = b; luego (0, b) es el punto de corte del eje Y con el gráfico de la función afín, es decir, b es la ordenada del punto de corte del eje vertical con la recta dada por la función afín.

Ejemplo:

Hallar el punto de corte de la función afín y = -2x + 1, con el eje Y. Como b = 1 entonces el punto de corte con el eje Y es (0, 1).







Posición de rectas en el plano según sus pendientes.

Dos rectas dadas por su función afín son paralelas siempre y cuando tengan la misma pendiente y son perpendiculares si y sólo si el producto de ambas pendientes es igual a -1.

Ejemplos:

Hallar la función cuya gráfica para por P (2, 1) y es perpendicular a y = -3 + 2. La función buscada es de la forma y = mx + b. Como el producto de las pendientes debe ser -1, se debe cumplir que :         (-3) . m = -1
m = -1/-3= 1/3. 
Luego, la función es de la forma y = 1/3x + b. Ya que P está en esta recta, se cumple :
1 = 1/3 . 2 + b
1 = 2/3 + b
b = 1/3.
En consecuencia, la función buscada es: y = 1/3x + 1/3.

Ecuación de la pendiente.

La pendiente de una recta que pasa por dos puntos distintos P(x₁, y₁) y Q (x₂, y₂ ) no situados en la misma vertical es mPQ = y2 - y1

                                       x2 - x1
Ejemplo:

Hallar el valor de la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(4, 6) y B (-3, )
 m = 1 - 6 = -5  = 5
       -3 - 4    -7     7
El valor de la pendiente de la recta que pasa por A y B es m = 5
                                                                                            7

Ecuación general de la recta

Ecuación general de la recta

Es aquella ecuación que permite representar una recta cualquiera en el plano cartesiano, ya que la ecuación f(x) = mx + b no representa las rectas verticales. La ecuación  Ax + By + C = 0 donde A y B no son simultáneamente nulos se le denomina ecuación general de la recta. Prácticamente la ecuación general de la recta es una expresión donde se despeja el número 0 y se intenta que todos sus coeficientes sean números enteros.

Ejemplos:

Determinar la ecuación general de la recta y = (- 3 )x + 2.
                                                                     5
Al igualar a 0 se tiene que y + 3  x - 2 = 0
                                            5
                                          5y + 3x - 10 = 0.
                                          3x + 5y - 10 = 0 Esta es la ecuación general de la recta.


Construcción de la ecuación de la recta

La ecuación de la recta, bien sea en su forma principal o en su forma general, se puede construir:

• Dada la pendiente de la recta y la ordenada en el origen
• Dados dos puntos de la recta
• Dados un punto y la pendiente de la recta
• Dados un punto y una recta paralela al o perpendicular.

Ejemplos:

Determinar la ecuación de la recta que para por P (-2, 3) y Q (1, 3). Debido a que las ordenadas de ambos puntos son iguales, se tiene que la recta es horizontal y su ecuación es y = 3. Su ecuación general es y - 3 = 0.

Fórmula para hallar la ecuación de la recta dados dos puntos.

Considera los puntos A(x_1, y₁)  y B (x₁, y₁);  La siguiente expresión representa a la recta que pasa por los puntos A y B: y - y₁ = y2 - y1 . (x - x₁). 

                                                                                     x2 - x1

Ejemplo:

 Hallar la ecuación general de la recta que pasa por los puntos P(-2, 3) y Q(3,5).
En este caso se puede hacer x1= -2; x2 = 3; y1 = 3 y y2 = 5.
Estos valores se sustituyen en la fórmula así:

y - y1 = y2 - y1  . ( x - x1) => y - 3 = 5 - 3     .  ( x - ( - 2) ) => y - 3 = 5 - 3 . (x +2)

                x2 - x1                                                 3 - (-2)                                                         3 + 2                               

 => y - 3 = 2 . ( x + 2)=> y - 3 = 2 x + 4 =>  y - 2 x - 4 - 3 = 0 => 5y - 2x - 19 = 0

                         5                                          5          5                  5         5

        

Fórmula que permite hallar la ecuación de una recta conocida su pendiente m y un punto de ella.

Sea A(x_1, y₁). La ecuación de la recta cuya pendiente es m que pasa A está dada por la siguiente expresión: y - y_{1 =} m . 4 y A(3,4). Al aplicar la fórmula en este ejemplo, con m = 4 y A(3,4). Se tiene que: y - 4 = 4 . (x - 3) 

        y - 4 = 4x - 12

        y - 4x - 8 =  0